Teoria stożka

Z Nonsensopedii, polskiej encyklopedii humoru
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Medal.png


Kieliszki o budowie quasi-stożka

Teoria stożka – matematyczny dowód na to, dlaczego tzw. „połówka” (kieliszka) połówką nie jest.

Wstęp i założenia teoretyczne

Teoria stożka, zwana również alkoholową teorią stożka, jest pierwszym matematycznym dowodem na to, że tzw. połówka (słowo często używane w zwrocie: Nalej mi połówkę) niekoniecznie połówką być musi. Zjawisko picia „połówek” występuje głównie u kobiet, rzadziej u mężczyzn – dzięki teorii stożka pełny po brzegi kieliszek też jest połówką. Wynika to z budowy owego naczynia które jest często paraboloidą obrotową – czyli w połowie wysokości tejże przestrzennej figury jest mniej niż połowa objętości, jaką można w tej figurze umieścić.

Pomiar szkliwa (kieliszka)

Rys. 1 – tworząca stożka w układzie 2d

Do zobrazowania dowodu, który został przedstawiony poniżej, został przeprowadzony pomiar cech parametrycznych (wymiarów) kieliszka (quasi-stożka) o równoległych do siebie płaszczyznach dolnej (dna) i górnej. W teorii posługujemy się ściętym stożkiem, a nie paraboloidą obrotową, aby ułatwić zrozumienie zagadnienia – wyniki dla obu tych figur przestrzennych są niemal jednakowe. (Tworząc matematyczny obraz kieliszka jako stożka unikamy wprowadzania bardziej skomplikowanych wzorów).

  • Wysokość:
  • Promień podstawy dolnej:
  • Promień podstawy górnej:

Do dalszych obliczeń błąd miernika (w tym wypadku linijki) nie będzie uwzględniany, gdyż zarówno ten błąd jak i odchyłka od wartości średniej pomiaru jest stosunkowo bardzo mała od spodziewanych wyników i nie wpływa na ostateczny wynik.

Zmierzone wartości przenosimy na dwuwymiarowy układ współrzędnych. Ważne jest, aby rysunek był zrobiony czytelnie i możliwie jak najdokładniej (Rys. 1). Otrzymując równanie tworzącej stożka . Jako, że współczynnik jest wartością funkcji tangens kąta między osią , a tworzącą, otrzymujemy kąt nachylenia tworzącej 78 stopni.

Do dowodu przyjmujemy wysokość 9,5 cm gdzie:

  • – nierzeczywiste przedłużenie stożka tzw. nóżka
  • – stożek właściwy (mierzalny), tzw. komora wódkowa lub komora szczęścia

Dowód założeń teoretycznych

Rys. 2 – quasi-stożek; granice całkowania
Rys. 3 – granice całkowania
Rys. 4 – granice całkowania

W dowodzie właściwym udowodnimy – groteskowo stwierdzając – że „połówka” występuje w każdym miejscu. gdzie osoba rozlewająca zachce tę „połówkę” mieć. A ściślej rzecz biorąc, formułujemy tezę: Połowa kieliszka mieści się miedzy jego połową wysokości a całą wysokością.

Obliczamy objętość kieliszka (uwzględniając pomiary wyżej zebrane). Objętość równa się całce potrójnej z jedności po obszarze . Obszar dzielimy na dwa: oraz . Obszar składa się z obszarów (Rys. 3) a z . Układ kartezjański zamieniamy na cylindryczny.

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze :

Rozwiązanie całki:

Zamiana na zmienne walcowe po obszarze :

Rozwiązanie całki:

Sumaryczna objętość mierzonego quasi-stożka (kieliszka) wynosi:

Połowa wysokości kieliszka znajduje się na wysokości . W sposób analogiczny do przedstawionego powyżej obliczamy objętość połówki dolnej (po obszarach ) oraz połówki górnej () otrzymując:

  • Objętość połówki dolnej:
  • Objętość połówki górnej:

Pierwszy wniosek: Połówki nie są sobie równe, oraz wniosek drugi – kluczowy – połowa objętości jest zawarta na przedziale względem wysokości od jej połowy do całej wysokości . Uwzględniając brak przyrządów pomiarowych (mierników) oraz błąd paralaksy ludzkiego oka udowodniliśmy tezę, iż nasza „połówka” jest zawarta na przedziale <> w naszym konkretnym badanym przypadku .

Uwagi

Dysponując aparatem matematycznym, a konkretnie rachunkiem całkowym, udowodniliśmy słuszność i prawdziwość tezy. Przedstawiona teoria dla samej matematyki i nauk pokrewnych nie jest ważna i istotna, lecz ma duże znaczenie społeczne. Bardzo dobrze sprawdza się tam, gdzie w określonej przestrzeni i w określonym czasie znajduje się wiele osób w celu zamierzonej konsumpcji. Należy brać pod uwagę, że teoria jest prawdziwa dla kieliszków w kształcie paraboloidy obrotowej lub stożka (kieliszki o tworzącej nachylonej pod kątem 0-30 stopni względem osi symetrii najlepiej nadają się do spożywania płynów). Dla kieliszków typowo cylindrycznych traci sens.